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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 DAPeYu  
{b Aczphl  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. SKbn^Jx  
w4~np%Tn  
　　1、三角函数本质： b y8$y@  
(5;/`#  
　　三角函数的本质来源于定义 %S#eI  
1-#d)a me  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 5` \;" m  
; Mp,B+b  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 GQ!|+l44  
4v 4):di  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：  xl}{6(b  
\iqu9SB7C  
　　推导： m{m%zf=,   
M!?=A '$A  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 8i>1P;  
JU`|Hwd|F  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) -d<X/?p  
+nCc <{  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) U,D|-?-Q  
3Tv" AP|  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Tsv*WyE  
E}B4'aC  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） \rHQ[R9)  
.K{yI  
　　[1] z^HswjB`  
3<B*9d  
　　两角和公式 y)|_!^  
[5smU@i8  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB O1_70|)<Tt  
[K-3K~5V  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  4j)sBF6G  
35Kj}t5Q  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB m )Q^m]J  
`LShHcq^z  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB U`Z'o/_*0  
LxdB8  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) qM3@"hBC,  
EQBv ^2D)  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 0Poc>F;t,  
yLbZ S6/R  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  T+Y*`vM)  
+4b{W'/7  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) *.NzXPB)G  
8.G.H/yP  
倍角公式 (W`pi7  
< zd&I<F  
　　Sin2A=2SinA•CosA (N= uuS^ %  
>C]^dH@  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~PB[:7'/  
M>pZF"N(!P  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Cg<MbvAU  
^ {V o@\  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Z(c?EjE  
wRF6M  
三倍角公式 LzNe=jauk  
&O~Pd"3  
　　 )T(8jF_  
%8Az5x/#/  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 0>. leL  
]D."A\)u  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) #KfZtM<<D  
[{:~D6A  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Q@pUXg  
fL&9[D?  
三倍角公式推导 $eNj8I3  
<NvAfK  
　　sin3a _q;BHm-l  
Z"TOU?$]  
　　=sin(2a+a) T(^oHLQ?   
Omei1cPCm  
　　=sin2acosa+cos2asina M)<}{V +  
:,1KYe/  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina +19FC52/u  
LDJ;GH?>?  
　　=3sina-4sin³a ]1CNAe  
l+5m*h=kX  
　　cos3a S ke>@  
(3AL4!p:\  
　　=cos(2a+a) Ms@A~0V   
?L`CA  
　　=cos2acosa-sin2asina JdO"@$g'~p  
1#s16ith^4  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa `\7gf@!aD  
Dl|26ExT   
　　=4cos³a-3cosa 'F^<w#{D:  
pJm^|"[  
　　sin3a=3sina-4sin³a x0%bzB  
ueL-!D$6  
　　=4sina(3/4-sin²a) 5x 8q x  
K\aJ!  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] `?G{)qxg  
!4g: tU  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) s *t0|'  
VZ 4 o  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) p.<dp=G5  
N:8V >T!@  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] b=spL#y  
XZK="h  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) H}U6MyS  
1/HV6LqO  
　　cos3a=4cos³a-3cosa EX=$-r)  
I[lJJ(4t`  
　　=4cosa(cos²a-3/4) eem?0#  
R">\t0rJg  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] +_`svlR[  
/{k{#I%  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 6kG)3st0P  
<qrebl  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) vV_S 4V  
kaf?A3Z0'w  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} @ u@$  
nN*f3lBW+k  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Hf90X(*R9  
i]2|3{C  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] D\DM!yDY/  
"qix~8  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Czb "f.j|  
SN]#YDI  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) z-6AFWC  
S+V&n#>  
　　上述两式相比可得 n)hQo%e"+  
_:TP:*b  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) z`b_ <X  
jE~Ri]$J  
半角公式 S2u 7uFu  
z'c]@ P  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); KQX"\xu  
(D}7m |  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. zeul; 2  
IW" GAw  
和差化积 #E!hC><iR  
T,9M`lA'  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] G /Q @C6l}  
`d{PlRVy}  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~ymaA?B  
4xpr8  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] iBseE+v)  
I,s8XFDA  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] t@1F Qp}  
"m4F7SMO  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) m2M]|]A-  
L;oEWav0  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) f5f-aS T(u  
#-R bFEP>  
积化和差 Y\Gv%J a  
; duVx7I  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 7$IVQX  
T~\`zed>  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] (_:Vs%  
QKahEJ t  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] mtzUt+oo  
JHKshd<<  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] q Em {@  
UgL@u{\/=  
诱导公式 5'qCsF>Be  
;7b !AP  
　　sin(-α) = -sinα hjNnmann  
B~zh9i!R  
　　cos(-α) = cosα 0omByB`_W  
aEVlw `eK  
　　sin(π/2-α) = cosα e]PzVs:(6  
e wO_Jl?  
　　cos(π/2-α) = sinα [f39_s?!  
b,6@3rG.  
　　sin(π/2+α) = cosα .HQs7FbqZ  
}hdZ(Z<P|Z  
　　cos(π/2+α) = -sinα ! I/AebW  
+(gzG($  
　　sin(π-α) = sinα EcK#eSxwIJ  
%/LC&2^6tF  
　　cos(π-α) = -cosα W{o6~C  
!Aq331k  
　　sin(π+α) = -sinα MZ0ao1;:i  
H\d]'2.n=  
　　cos(π+α) = -cosα {Wt7c(  
\lD &e#R>  
　　tanA= sinA/cosA }\$[3si  
vl*sd:>  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 7;I 0 !F  
<%"#L  
　　tan（π/2－α）＝cotα q@X;9H  
 o//c  
　　tan（π－α）＝－tanα I->7 "@X|  
j j20#sT0  
　　tan（π＋α）＝tanα ^ s/`@i&k:  
X ]'PTA*+  
万能公式 tS4-RNY  
;lV/w#qmZm  
　　 T~HFK\@2  
.6"uH'Mbon  
其它公式 SS![~w  
sffRv4e Uy  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 jI\1B2:H  
SkgV (RG  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ls,4L,&  
6V;S3.  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 { aW^x[  
;o|H(o3  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  uXcXRc  
)~ ]t2h  
　　对于任意非直角三角形,总有 ^A4.R]sKp9  
=r39cZ@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8on5OAA"Xi  
'>i-8Rdp5~  
　　证: ((Ymbos  
SrA6 J)  
　　A+B=π-C iVu&aDc5  
<TgI(>.#  
　　tan(A+B)=tan(π-C) [>U2(PFJa  
)|9eR7NcH  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) +T^Bd7J]8  
#2"4wC{ ?  
　　整理可得 _/'V+wO<u  
W d|8  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .It+]v  
"ft4hC[X1  
　　得证 | / V@9@<  
XmI rX)  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 o?K(p]n0@  
eW,8e#Ub  
其他非重点三角函数 bx]b  
E1pba  
　　csc(a) = 1/sin(a) I8'J   
,kJ0YTIx  
　　sec(a) = 1/cos(a) )e6aCy  
GS #*y&6I  
　　 vPmR8Ocq  
;?yh]/ Q  
双曲函数 'f8a9*  
g ,9  Z  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 8Q0;u:5z  
!J3l:  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 M|^8S9D03|  
ns6EnU|T(  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) K i! IoQ  
7:k#RdwaQ  
　　公式一： JPUf3rO  
wKJGM" _H  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： dhg j(D@  
m6LAN0  
　　sin（2kπ＋α）= sinα u] htsxL  
rP%MBA~  
　　cos（2kπ＋α）= cosα CDaJ/  
Hjo3$U  
　　tan（kπ＋α）= tanα 5yC{d}U'  
o p1T3@@  
　　cot（kπ＋α）= cotα Y a8 q^  
d zcd40a"L  
　　公式二： l.)B,~E  
9/, v Xh  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ((,u RNY\  
#B\mn  
　　sin（π＋α）= -sinα K^uEVC  
%% 7Y DI-  
　　cos（π＋α）= -cosα *Qx1syA  
Z7X9.&E  
　　tan（π＋α）= tanα YKe|V4  
rbef3?*s  
　　cot（π＋α）= cotα 0 8}!  
b;3tN  
　　公式三： $/ [VhB  
j %[\a`  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： d_ ?xN>  
NR u3(G  
　　sin（-α）= -sinα e5uwpLw  
K{>08c  
　　cos（-α）= cosα Dmao@dFv  
K J\VB4WnV  
　　tan（-α）= -tanα Emk8/)  
{UI[ :c@  
　　cot（-α）= -cotα 7TD [-_D  
P}l~~_  
　　公式四： ?`J@E {  
@Hj7E.j9  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ;"<!z^7;0  
;+n{> ~lo  
　　sin（π-α）= sinα [022O"[  
U[3c< >ns  
　　cos（π-α）= -cosα qR8Tbp <  
"k@x  
　　tan（π-α）= -tanα M]rL(53  
6bc O0g9  
　　cot（π-α）= -cotα /d/:p$_7  
.0:* n/@  
　　公式五： hb?g>xmE  
PjBb{VwC  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ;w 6>q+  
K.P?>>u)`5  
　　sin（2π-α）= -sinα D~2VO~X5-  
wac7eFx   
　　cos（2π-α）= cosα %"FviH1`~  
xJV3py}u]  
　　tan（2π-α）= -tanα  mqR"f&E  
 p<ccVs4  
　　cot（2π-α）= -cotα .<y^GU?l=4  
g{ T+/!gQ  
　　公式六： `?i|,-X  
(Kp(DP\#g  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 5)4e!w;Q  
xVC:TP8I/  
　　sin（π/2+α）= cosα .^(9yGI  
DP'X{xYO @  
　　cos（π/2+α）= -sinα h{ 2^-T,  
+nf8WN  
　　tan（π/2+α）= -cotα K]! 6X=)  
f't*'kD  
　　cot（π/2+α）= -tanα oRGZiSW  
cGex3j2y  
　　sin（π/2-α）= cosα :.X4Z'Mkv  
@TT.-Z#  
　　cos（π/2-α）= sinα l2b 9Wmk]  
?m+QVPB  
　　tan（π/2-α）= cotα _0<k/ U6  
,e< I/t 7  
　　cot（π/2-α）= tanα Hxe8Ts  
/5LE:NNp  
　　sin（3π/2+α）= -cosα .BGC`^  
a/LoZ^  
　　cos（3π/2+α）= sinα Dq?R%NU  
h[%lnE<   
　　tan（3π/2+α）= -cotα =~@`it@x  
Z V \* ]  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 7 Fcb q  
^Nr k9*,S  
　　sin（3π/2-α）= -cosα :'Mm% ATX  
{2t5j7_=;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ij\\6z z  
d~B2vL|A  
　　tan（3π/2-α）= cotα ]u$W7pC:6  
_G"#iuR  
　　cot（3π/2-α）= tanα =_S=N6s|  
'z -gl;:  
　　(以上k∈Z) E?3j.XXbj  
-2f t&Ft=  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 qRLF![FL  
(W<7+S7?A  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = g -6"Y6Yp  
t x*1s~  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } |7rM:&  
;^qcIRMHU|  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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