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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 pk|-X _K|  
h0 vc  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. +}C:D!u:T  
XLfs<iB+f  
　　1、三角函数本质： f,Pq$AK  
uVP` ]^  
　　三角函数的本质来源于定义 yv;%fC9s  
jRbcF4f A  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 eAGF 6c3w  
Em1G.ynR  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 T&TwC&m.  
jz7< \  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： A0{)UUm^(  
OqUn"e0O$  
　　推导： |QjfuGs5  
03oQ 9f  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 7FPBJ|pb  
}C;F"pt_18  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Wwm\A*  
',5A^?  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) -DP9B5&e  
kH9@+  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 =(5@Pd[d  
pr^Q"tU?  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Q Cz'3`pe  
G8 _G!-[  
　　[1] xLSlA,   
~LM^4 (^?O  
　　两角和公式 )Zn%bOL c  
soj);.Q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB O>O\>p}lS  
l8S S\9O/  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ,O=N5#pX4  
g@5c]%f  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB HE'h+l+w<  
CP yZ:8E  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB bJNJ X%g  
m:{:Wft  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)  $ O-t"YE  
iljc%y  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ea1Z.  
^a H'b0k@  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ` z|* x%  
9OWj?A@-T  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) )&o!V/6M6H  
}[eOA q2q  
倍角公式 dsd[? 0>7.  
*s}8z {  
　　Sin2A=2SinA•CosA Y<ryD< <  
V9;9^!4V  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 cE^(=@KS  
}<y=9>UV  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） NarsbI  
@ $%C)  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） :sQ9Igq{Z  
H'Fs$&^1  
三倍角公式 HK{M T>d  
pF/+ /  
　　 J^wmKA::  
d'2/%D  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) {@Y!F$6+d  
-$w>0+IS  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) }*N\lQj  
/}<lq  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) *#8!m,7  
6*j=6Ql}  
三倍角公式推导 u5YEn|w%  
fe~c  
　　sin3a #*sl`%ZN  
Cb:QR9"8'a  
　　=sin(2a+a) 3V}?_@in  
ZCg`D(vS1  
　　=sin2acosa+cos2asina G/0`vNt"g  
v@q#-FZ2  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina pd r3^d)R  
mu P1p-*  
　　=3sina-4sin³a k6D~<imh  
bdES-FF  
　　cos3a \] l@uRg  
w.O[ZO  
　　=cos(2a+a) {h 6oBIX  
&EP+dc|\eR  
　　=cos2acosa-sin2asina ";U-`8J  
S jC:  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa p'$^V  
&s !S  
　　=4cos³a-3cosa "O#L/o 6  
9w=</#i  
　　sin3a=3sina-4sin³a 1$ BSHk  
70&+UEVK  
　　=4sina(3/4-sin²a) ="?p Ov]  
ZIXDjNl 9  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] j/. Ltk  
Uu'K;'$|  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) oB!`  
\iZG69%Kq*  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ^S'E4 9  
9Lb2;R'  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] c_n@CG:  
CHe3S' 3v4  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) S}xzXC8  
zUdeeh@;  
　　cos3a=4cos³a-3cosa c^[Q'iD  
Yb$lg$Vg{  
　　=4cosa(cos²a-3/4) |*R?dLNDje  
L;)1p3KY?  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] "M7O= cr  
3`@hKc;  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ?  6@E*  
Wy8m{IVcv  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ^__-<6W  
~X^%U  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} OE7J@p]]  
j\N8yF{I  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) azs@uV0?  
UypC2_  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] (\<Tn>MZ"z  
fRjKZ9  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] $UzuY0"  
twsP2 c/  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) `TM<U  
|P*kcfRg@  
　　上述两式相比可得 ^^QJ}l  
&ks9ia  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) cWl%Cj~T%  
oO-4X %`hV  
半角公式 =T 1a.AvBY  
7gmz:  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 7t.-e q  
ju8eDc^x  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 4m&`Ljb7;  
~,p.g WM  
和差化积 #%:}+1  
B65qo;  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] a4-,wf%  
1`Ju+U_Yh#  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !4|$2s!*  
8yy\  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] qLT q{  
N 5/@HpqH  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &`IJ<a`7o  
&>KhB/5n  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =G1t,DK  
^ItZy HKl  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Z ;z2&i~s  
*nPl-]a  
积化和差 ~KMwaHf~3  
Q_Jg das  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] u+AX#ITHA2  
}5 8|dL  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]  \y M"6  
:sXz5:3  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Ey|TsLr0  
7,|qP+  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] OG,>Ppb*  
6ZDRxr  
诱导公式 _:dRN Ls(  
OZ~F_ iC^z  
　　sin(-α) = -sinα z8Dr^d7sj  
}Y[sfTbr+  
　　cos(-α) = cosα ?15=bvCjtf  
+ZaLC) Ex  
　　sin(π/2-α) = cosα qZ1[WLQD  
0m7\ 3J  
　　cos(π/2-α) = sinα Oxu -)h"  
(Xz 'o   
　　sin(π/2+α) = cosα KTZW*gy/  
=_'tw6!\  
　　cos(π/2+α) = -sinα c0jvITR$  
5_CV$gn  
　　sin(π-α) = sinα =%VRg6=H  
#E]G2[  
　　cos(π-α) = -cosα C[i? SYCg  
vUk0vL}u  
　　sin(π+α) = -sinα ffsmoO<Z_  
X>q*O@7  
　　cos(π+α) = -cosα iAjP^H`SB  
r<d,J Q  
　　tanA= sinA/cosA /39MCp@t  
|g)c@ Wkr  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα .,|\ji#{  
-zQek418  
　　tan（π/2－α）＝cotα j [/Dei1p  
' c}Dw  
　　tan（π－α）＝－tanα +={Us6S,  
"}g{bupif  
　　tan（π＋α）＝tanα FCwO;H|g  
_&dt]m  
万能公式 w"/.hpyH3  
<p)PLq#  
　　 :P /v`M*!]  
@9/c`*h-  
其它公式 Bb(-yfU?-  
K?)j*<NIsD  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 [(,!7\9  
5:Dzu6up  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 \9p5GH[  
B6ArkNaJy  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 P7/YJ 40y  
Dw_Q[tG  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 9"W1XPSFM  
Y}x*hdan8  
　　对于任意非直角三角形,总有 #u38JGl  
?~a?>JBg5  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC v]e7m".  
jnt5(h vV  
　　证: 2o K8=+  
CLFu{5:  
　　A+B=π-C 8tH_Vf3c  
TUq,q  
　　tan(A+B)=tan(π-C) o}8V.}<,.  
ehvu8h1r|  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) a 0k;K/r  
B m]}2d!  
　　整理可得 W9uB*TY  
FVtzNZ_2  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Ti0"AhJZs  
f# F$(  
　　得证 Gl (~Ln  
n Wnkd76p  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 h$6~O@x>  
z^tT i|K  
其他非重点三角函数 \G1oS6  
HLq >mFN%  
　　csc(a) = 1/sin(a) ] Wgs  
< * ['A  
　　sec(a) = 1/cos(a) "|GJ-y~  
r {Ie  
　　 ZrzKLYNp  
6#?]0vb1H  
双曲函数 5a#Xk W  
0Fgj[X;  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 878TLvjv  
oVTb@_~  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 _gT$PF'?O]  
,Nd1DzLB  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) /;\Hs3\?s  
~TcX u$r  
　　公式一： d[0 VW3"  
X[ ,Y5 P  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： &;L2*ME"[  
?#*I;  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Iz_5 &  
C rpcZ  
　　cos（2kπ＋α）= cosα &P%2x_pb5  
rvS5WA!  
　　tan（kπ＋α）= tanα 9k0* W}o  
rmh)50 A/  
　　cot（kπ＋α）= cotα H_a,80cs  
zfD\#u`  
　　公式二： "SE@D0^  
1"oUgN6*  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 'HIb5Hn/:  
u7;\3 S~i  
　　sin（π＋α）= -sinα pYY/y"v(  
xZHu< -  
　　cos（π＋α）= -cosα v*C.wdM  
/HkO$/  
　　tan（π＋α）= tanα *N[(tHkI  
 D&8EZxZ/  
　　cot（π＋α）= cotα VY:}w)'y  
_^Boev  
　　公式三： oE(J<Q^.  
ZbT ~ "  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： OAAYYc=`D  
jVhWCA"  
　　sin（-α）= -sinα C~h~/(7k  
#8; 15N  
　　cos（-α）= cosα Bb~&;%Fwh4  
:}JI3S  
　　tan（-α）= -tanα :e7B {k  
pc2.sSb  
　　cot（-α）= -cotα <s}~6x  
g`it p  
　　公式四： u02y ,_  
$D*`Yyd  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 4{s r4  
-mMKH2  
　　sin（π-α）= sinα I{;V.}D  
Qk/ze&vv  
　　cos（π-α）= -cosα )N Ael  
;x!-;L5Mn  
　　tan（π-α）= -tanα 4w d u  
E]#jY].uM  
　　cot（π-α）= -cotα # &_jh_+{  
 2&rNpC/  
　　公式五： %xcUoh  
@(m5X@KE  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Dd+ D/ .  
}uJd%B  
　　sin（2π-α）= -sinα xq;3Y7|  
R+d~{#Cs<  
　　cos（2π-α）= cosα J+`)JE2  
Uu-11  
　　tan（2π-α）= -tanα SeK lI>1uD  
SchaywAuEr  
　　cot（2π-α）= -cotα }[,O4.V  
o(PExQEt  
　　公式六： k|n=Y  
/h[U?2UZ+  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： RH *`a_!  
@lI /7'QG  
　　sin（π/2+α）= cosα e1xf'+JR  
uj2i yG  
　　cos（π/2+α）= -sinα $h\*nJ+  
;m!(|iEmH  
　　tan（π/2+α）= -cotα I],]oO  
8Za@1 /g  
　　cot（π/2+α）= -tanα n:c;U!1'>  
XFK1g3  
　　sin（π/2-α）= cosα Sx XzxO  
x\O`>X6a0  
　　cos（π/2-α）= sinα .^Zs=Hh  
+Kn*onr<  
　　tan（π/2-α）= cotα a[Ndl  
vpu~`Ul;Ym  
　　cot（π/2-α）= tanα  a=#$Z%F  
sv h'('rP  
　　sin（3π/2+α）= -cosα /p1h/_  
T94}Gzc%  
　　cos（3π/2+α）= sinα MoE</}l7U  
Jodw3C3oC  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ~4bSv6Os  
@fIerzg  
　　cot（3π/2+α）= -tanα /Q'V6K<"  
383RpS9.xY  
　　sin（3π/2-α）= -cosα c} 9ZW\Pe  
. Irn}  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ',etYc  
y~c~.I@  
　　tan（3π/2-α）= cotα *e4\\z  
o7Z6w~)  
　　cot（3π/2-α）= tanα An\^O ,aFe  
mS^dw bC  
　　(以上k∈Z) h }b1?1]B  
KUIoVKe%  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 {:gbzsZ'  
?Q9A"f7  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Q=#IyxE6  
nwr[R]A  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } R 7yMv-x|=  
xhxq8$De;8  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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